Urodził się 20 kwietnia 1897 roku w Wielogłowach w powiecie Nowosądeckim Uczęszczał do gimnazjum w Nowym Sączu, a następnie, po ukończeniu 4 klasy, przeniósł się do Szkoły Przemysłu Artystycznego w Krakowie. Planowany wyjazd na dalsze studia do Darmstadtu przerwał mu wybuch I wojny światowej. Przez pierwsze dwa lata wojny przebywał w Nowym Sączu, gdzie dokształcał się, a także działał jako łącznik pomiędzy Naczelnym Komitetem Narodowym w Krakowie a organizacjami wolnościowymi w Nowym Sączu.
Wskutek oskarżenia o znieważenie cenzury i austriackich władz wojskowych (przesyłał karykatury do gazety „Bajki Wojenne”) skazany został na karę pieniężną. Określono go jako „politycznie podejrzanego”, a następnie, prawdopodobnie w drodze karnej, od początku 1917 roku wcielony został do armii austriackiej. Do kraju powrócił w listopadzie 1918 roku i rozpoczął pracę w kancelarii pułkowej w Krakowie. Następnie pełnił służbę w Komendzie Dworca i Nadzorze Transportów Wojskowych, gdzie porządkował statystykę przejazdów i wyżywienia powracających z wojny obywateli obcych państw. W czasie wojny polsko-bolszewickiej w 1920 roku wykonywał szkice terenowe, w celu rozmieszczenia karabinów maszynowych do obrony Modlina. Opuszczając armię dosłużył się rangi sierżanta. Po zakończeniu służby wojskowej pracował m.in. jako pomocnik biurowy w Zamościu, kierownik w Lubelskich Zakładach Destylacji Drewna w Zwierzyńcu Lubelskim, jak również jako projektodawca dywanów i gobelinów. Planował otworzyć w Kielcach szkołę kilimiarstwa przemysłowego (kilim jest tkaniną dekoracyjną). Pomysłu tego jednak nie udało mu się zrealizować.
W ciągu kilkunastu lat imał się wielu różnych prac, m.in. pełnił funkcję sekretarza redakcji w „Gazecie Kieleckiej”, skąd odszedł na własne żądanie. Pracował jako kreślarz i pomocnik techniczny w biurze Polsko-Czechosłowackiej Komisji Granicznej w Nowym Sączu, a także w Bielskim Przedsiębiorstwie Wyrobu Dywanów jako kierownik artystyczny. W listopadzie 1932 roku zamieszkał w Kielcach u swoich krewnych. Zarembą zainteresował się Eugeniusz Kwiatkowski, komplementując jego prace artystyczne, toteż postanowiono znaleźć mu posadę odpowiadającą kwalifikacjom. Nadmienić należy, że w tym czasie, tj. w sierpniu 1936 roku pracował w Urzędzie Wojewódzkim w Kielcach jako pracownik kontraktowy, a następnie jako pomocnik techniczny w Wydziale Rolnictwa i Reform Rolnych. Od 1937 do 1939 pracował natomiast jako nauczyciel kontraktowy na Wydziale Sztuk Zdobniczych i Przemysłu Artystycznego Państwowej Szkoły Technicznej we Lwowie.
Po wojnie przyczynił się do reaktywowania „Gazety Kieleckiej” (która określiła się w podtytule jako organ społeczno-demokratyczny), późniejszego „Dziennika Kieleckiego”, i został jej redaktorem wraz z Marcelim Łabędziem. Pisywał tam artykuły, w których nawoływał do odbudowy państwa, poruszając ważne dla społeczeństwa Polski, a Kielc w szczególności, sprawy. W styczniu 1945 roku złożył projekt powołania w Kielcach szkoły rzemiosła artystycznego (obecnie Liceum Sztuk Plastycznych) – był członkiem powołanego w tym celu komitetu organizacyjnego. Był także współzałożycielem Stronnictwa Demokratycznego na Kielecczyźnie. Zajmował się nadto zabezpieczaniem zbiorów z opuszczonych dworów na terenie województwa kieleckiego.
W memoriale napisanym przez Władysława Babinicza Jan Zaremba jawi się jako wyjątkowo energiczna postać, zajmująca się sztuką, wychowywaniem i kształceniem młodzieży, a także ochroną zabytków i etnografią. Wędrował po wsiach miasteczkach Kielecczyzny, wyłuskując ludzi zapomnianych i otaczając opieką młodzież chłopską. Na zjeździe Towarzystwa Ludoznawczego w Szczecinie miał powiedzieć: „Jakie to szczęście, że pozostałem na Kielecczyźnie, że związałem się z wielką rodziną etnografów”.
Zmarł 17 października 1961 roku w Iłży, a pochowany został na cmentarzu starym w Kielcach w kw. 11-A.